Thời trung học phổ thông ta đã rất quen thuộc với việc giải hệ phương trình, khi giải ta thường tìm cách kết hợp các phương trình lại với nhau để tạo thành phương trình mới đơn giản hơn, sau đó sẽ biển diễn một hoặc nhiều ẩn theo các ẩn còn lại…Ở bài này ta sẽ biết cách biểu diễn một hệ phương trình bằng ma trận, cách kết hợp các phương trình lại khi thao tác với ma trận ta có thể gọi đó là các phép biến đổi sơ cấp. Qua bài này ta sẽ biết một số dạng hệ phương trình và cách giải chúng khi thao tác trên ma trận.
4.1 Biểu diễn hệ phương trình tuyến tính
\(\begin{cases} 2x_1 + 5x_2 – 2x_3 = 1 \\ 4x_1 – 5x_2 – 2x_3 = 8 \\ 9x_1 + 5x_2 – 3x_3 = 2\end{cases}\)
Phương trình trên khi biểu diễn dạng ma trận:
\[ \begin{bmatrix} 2&5&-2 \cr 4&-5&-2 \cr 9&5&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \cr x_2 \cr x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cr 8 \cr 2\end{bmatrix} \]
4.2 Các dạng hệ phương trình tuyến tính và cách giải
4.2.1 Hệ Cramer
Xét hệ \(n\) phương trình \(n\) ẩn:
\[ \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_1 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_2 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = b_n \end{cases}\]
Với ma trận hệ số:
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\]
Đây là một ma trận vuông cấp \(n\).
Ta viết lại phương trình trên dưới dạng ma trận sẽ là:
\[\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\]
Ta gọi hệ phương trình trên là hệ Cramer nếu \(det(A) \neq 0\)
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức \(\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\) Tức là:
\[ x_{j} = \frac{det(\mathbf{A}_j)}{det(\mathbf{A})} \ \ \ \ (4.2.1)\]
Trong đó \(\mathbf{A_j}\) là ma trận suy từ ma trận \(\mathbf{A}\) bằng cách thay cột thứ \(j\) bởi cột vế phải \(\mathbf{b}\)
4.2.2 Hệ thuần nhất
Hệ thuần nhất sẽ gần giống với hệ Cramer nhưng sẽ khác phần tử vế phải phương trình đều là \(0\).
Xét hệ \(n\) phương trình \(n\) ẩn:
\[ \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} =0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = 0 \end{cases}\]
Với ma trận hệ số:
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\]
Đây cũng là một ma trận vuông cấp \(n\).
Ta viết lại phương trình trên dưới dạng ma trận sẽ là:
\[\mathbf{A}\mathbf{x} = 0\]
Ta dễ thấy hệ phương trình thuần nhất luôn có một nghiệm không là:
\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}\]
Nghiệm không của hệ thuần nhất còn được gọi là nghiệm tầm thường của nó. Một câu hỏi đặt ra là: Khi nào hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường ? Theo công thức 4.2.1 thì ta thất Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi \(det(\mathbf{A}) = 0\), vì do khi \(det(\mathbf{A}) \neq 0\) thì hệ phương trình sẽ chỉ có duy nhất một nghiệm.
4.2.3 Hạng của ma trận
Trước khi đi vào khái niệm hạng của ma trận, ta phải định nghĩa ma trận con.
Xét ma trận cỡ \(m \times n \):
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}\]
Gọi \(p\) là số nguyên dương không lớn hơn min \(\{m, n\}\)
Khi đó ta có: ma trận vuông cấp \(p\) suy từ \(\mathbf{A}\) bằng cách bỏ đi \(m – p\) hàng và \(n – p\) cột gọi là ma trận con cấp \(p\) của \(\mathbf{A}\)
Vậy hạng của ma trận \(\mathbf{A}\) là cấp cao nhất của các định thức con khác \(0\) của \(\mathbf{A}\)
Cách tính hạng của ma trận
Để tính hạng của ma trận ta có thể sử dụng hai cách:
- cách thứ nhất là tìm tất cả các ma trận con sau đó tìm các ma trận con các định thức khác \(0\) sau đó cấp cao nhất ma trận con có định thức khác \(0\) chính là hạng của ma trận.
- Cách thứ hai là ta dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận gốc để đưa về ma trận dạng bậc thang, sau đó số hàng khác \(0\) của ma trận bậc thang này chính là hạng của trận gốc.
Ma trận có những tính chất sau gọi là ma trận bậc thang:
- Các hàng khác \(0\) (tức tồn tại ít nhất một phần tử trên hàng đó khác \(0\)) luôn ở trên các hàng \(0\) (tất cả các phần tử trên hàng đó đều là \(0\))
- Trên hai hàng khác \(0\) thì phần tử khác \(0\) đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác \(0\) đầu tiên ở hàng trên.
Ví dụ ma trận bậc thang:
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1&2&0&4\\ 0&0&1&3 \\ 0&0&0&0\end{bmatrix}\]
Hạng của ma trận ta kí hiệu là \(rk(\mathbf{A})\)
4.2.4 Hệ phương trình tổng quát
Bây giờ xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:
\[\bar{\mathbf{A}} = [\mathbf{A}, \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} & | & b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} & | & b_2 \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots & | & \cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} &|& b_m \end{bmatrix}\ \ \ \ (4.2.4)\]
Ma trận bổ sung \(\bar{\mathbf{A}}\) có các hệ số là ma trận \(\mathbf{A}\) và được bổ sung thêm cột \(\mathbf{b}\), cột \(\mathbf{b}\) chính là kết quả của từng phương trình (từng hàng) nhưng ta đang viết gọn dưới dạng ma trận.
4.2.4.1 Nghiệm của phương trình tuyến tính tổng quát
Theo định lý Kronecker – Capelli thì hệ phương trình 4.2.4 hay viết ngắn gọn là \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) có nghiệm khi và chỉ khi:
\[ rk(\bar{\mathbf{A}}) = rk(\mathbf{A})\]
Như ta đã biết ở phần trước khi tính hạng của ma trận ta sẽ qua các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận hệ số về dạng bậc thang, nhìn vào dạng của ma trận bậc thang thang ta cũng dễ dàng suy ra các trường hợp nghiệm như sau:
- Nếu \(rk(\bar{\mathbf{A}}) \neq rk(\mathbf{A})\) thì hệ vô nghiệm.
- Nếu \(rk(\bar{\mathbf{A}}) = rk(\mathbf{A}) = n\) thì hệ có nghiệm duy nhất.
- Nếu \(rk(\bar{\mathbf{A}}) = rk(\mathbf{A}) < n\) thì hệ có vô số nghiệm.
4.2.4.2 Ví dụ
Ta sẽ đi giải thử một phương trình bằng phép biến đổi sơ cấp để thấy rõ hơn:
Xét hệ phương trình sau:
\[ \begin{cases} -2x_1&+&4x_2& – &2x_3& – &x_4& + &4x_5&=& -3 \\ 4x_1&-&8x_2& + &3x_3& – &3x_4& + &x_5&=& 2 \\ x_1&-&2x_2& + &3x_3& – &3x_4& + &x_5&=& 0 \\ x_1&-&2x_2& + && – &3x_4& + &4x_5&=& -1\end{cases}\]
Khi viết hệ trên dưới dạng ma trận ta được:
\[ \bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} -2&4&-2&-1&4&|&-3 \\ 4&-8&3&-3&1&|&2 \\ 1&-2&1&-1&1&|&0 \\ 1&-2&0&-3&4&|&-1\end{bmatrix}\]
Ta hoán đổi R3 (hàng thứ 3) và R1(hàng thứ 1) ta được:
\[ \bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&-2&1&-1&1&|&0 \\ 4&-8&3&-3&1&|&2 \\ -2&4&-2&-1&4&|&-3 \\ 1&-2&0&-3&4&|&-1\end{bmatrix}\]
Tiếp theo ta lấy hàng thứ hai trừ đi 4 lần hàng thứ nhất, hàng thứ 3 cộng với hai lần hàng thứ nhất, hàng thứ 4 trừ đi một lần hàng thứ nhất ta được:
\[ \bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&-2&1&-1&1&|&0 \\ 0&0&-1&1&-3&|&2 \\ 0&0&0&-3&6&|&-3 \\ 0&0&-1&-2&3&|&-1\end{bmatrix} \]
Tiếp theo ta lấy hàng thứ tư trừ đi hàng thứ hai và trừ đi hàng thứ ba ta được:
\[ \bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&-2&1&-1&1&|&0 \\ 0&0&-1&1&-3&|&2 \\ 0&0&0&-3&6&|&-3 \\ 0&0&0&0&0&|&0\end{bmatrix} \]
Tiếp theo ta lấy hàng thứ hai nhân với \(-1\) và hàng thứ ba nhân với \(-\frac{1}{3}\) bước này chỉ nhằm mục đích giảm độ lớn các hệ số tự do.
\[ \bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&-2&1&-1&1&|&0 \\ 0&0&1&-1&3&|&-2 \\ 0&0&0&1&-2&|&1 \\ 0&0&0&0&0&|&0\end{bmatrix} \]
Nhìn vào ma trận \(\bar{\mathbf{A}}\) cuối cùng ta dễ thấy được \(rk(\bar{\mathbf{A}}) = \mathbf{A} < n\) do vậy hệ phương trình sẽ có vô số nghiệm.
Ta sẽ viết lại \(\bar{\mathbf{A}}\) dưới dạng thông thường:
\[ \begin{cases} x_1&-&2x_2& + &x_3& – &x_4& + &x_5&=& 0 \\ &&& + &x_3& – &x_4& + &3x_5&=& -2 \\ &&&&&&x_4& – &2x_5&=& 1 \\ &&&&& &&&0&=& 0\end{cases}\]
Ta dễ thấy hệ phương trình trên sẽ có vô số nghiệm.
4.3 Tổng kết
Trong bài viết này ta đã đi tìm hiểu các hệ phương trình tuyến tính và cách giải chúng khi thao tác với ma trận, Ở bài viết sau ta sẽ đi tìm hiểu về không gian vector.
