55.1 Các biến cố thành phần là biến cố xung khắc
Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung nhắc thì:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
Trong trường hợp ta có nếu \(A_1, A_2, A_3,…, A_n\) là \(n\) biến cố xung khắc từng đôi, thì:
\[P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)\]
Ví dụ: Một hộp có 8 sản phẩm (trong đó có 3 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên(không hoàn lại) từ hộp ra 5 sản phẩm. Tính xác suất để có không có 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra
Giải: gọi \(A\) là biến cố “không có phế phẩm nào trong 5 sản phẩm lấy ra”, \(B\) là biến cố “có 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra” và \(C\) là biến cố “có không quá 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra”.
Ta thấy: \[ C = A \cup B\]
Mà \(A, B\) là hai biến cố xung khắc (vì nó không thể đồng thời xảy ra trong phép thử ngẫy nhiên ra 5 sản phẩm từ hộp). Nên ta có:
\[P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
\[P(A) = \frac{C_5^5}{C_8^5} = \frac{1}{56}; P(B) = \frac{C_3^1.C_5^4}{C_8^5} = \frac{10}{56}\]
Vậy:
\[P(C) = \frac{1}{56} + \frac{10}{56} = \frac{11}{56}\]
Hệ quả 1: Nếu \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi thì:
\[ \sum_{i=1}^n{P(A_i)} = 1\]
Hệ quả 2: Nếu \(A\) và \(\bar{A}\) là hai biến cố đối lập với nhau thì:
\[P(A) = 1 – P(\bar{A})\]
55.2 Các biên cố thành phần không xung khắc
Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố không xung khắc thì:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A.B)\]
Ví dụ: một lớp học có 50 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên giỏi Toán, 30 sinh viên giỏi Anh Văn, 10 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh Văn. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một môn trong hai môn Toán và Anh Văn.
Giải: Gọi \(A\) là biến cố chọn được sinh viên học giỏi môn Toán, \(B\) là biến cố chọn được sinh viên học giỏi môn Anh Văn. C là biến cố chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một trong hai môn Toán và Anh Văn. Ta thấy \(C = A \cup B\) và hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố không xung khắc (bởi vì \(A\) và \(B\) có thể xảy ra cùng một phép thử, đó chính là sinh viên được chọn học giỏi cả hai môn Toán và Anh Văn) Do đó:
\[P(C) = P(A) + P(B) – P(AB) = \frac{20}{50} + \frac{30}{50} – \frac{10}{50} = \frac{40}{50} = 0.8\]
Ta có thể khái quát lên trường hợp tổng quát: Nếu \(A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n\) là \(n\) biến cố không xung khắc thì:
\[P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = \sum_{i=1}^n{P(A_i)} – \sum_{i<j}{P(A_iA_j)} + \sum_{i<j<k}{P(A_iA_jA_k)} + (-1)^{n-1}P(A_1A_2 \cdots A_n)\]
Trường hợp n = 3:
\(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) – P(A_1A_2) – P(A_1A_3) – P(A_2A_3) + P(A_1A_2A_3)\)
Trường hợp n = 4:
\(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + P(A_4) \\ – P(A_1A_2) – P(A_1A_3) – P(A_1A_4) – P(A_2A_3) – P(A_2A_4) – P(A_3A_4) \\ + P(A_1A_2A_3) + P(A_1A_2A_4) + P(A_1A_3A_4) + P(A_2A_3A_4) \\ – P(A_1A_2A_3A_4)\)
