Khi ta tiến hành \(n\) phép thử độc lập mà trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp. Hoặc biến cố \(A\) xảy ra hoặc biến cố \(A\) không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố \(A\) trong mỗi phép thử đều bằng \(p\) và xác suất \(A\) không xảy ra bằng \(1 – p = q\). Khi đó xác suất để trong \(n\) phép thử độc lập nói trên, biến cố \(A\) xảy ra đúng \(k\) lần ký hiệu là \(P_k(A)\) được tính theo công thức Bernoulli sau đây:
\[P_k(A) = C_n^kP^kq^{n-k} \ \ \ \ \ (k = 0, 1, 2, 3, \cdots, n)\]
Ví dụ: Một thùng hàng có tỷ lệ phế phẩm là \(10%\). Lấy ngẫu nhiên từ thùng hàng đó ra 20 sản phẩm để kiểm tra (lấy có hoàn lại). Tính xác suất để có 5 phế phẩm trong 20 sản phẩm lấy ra.
Giải: Ta thấy việc mỗi lần lấy một sản phẩm ra là một phép thử và gọi \(A\) là biến cố “sản phẩm lấy ra là phế phẩm”, như vậy xác suất xảy ra \(A\) trong mỗi phép thử sẽ là 0.1 suy ra xác suất lấy phải sản phẩm không phải phế phẩm tức là \(\bar{A}\) là 0.9. Mà các phép thử đều độc lập với nhau, do đó ta có thể áp dụng được công thức Bernoulli để tính xác suất có 5 phế phẩm trong 20 sản phẩm lấy ra:
\[P = C_{20}^5.0.1^5.0.9^{15} \approx 0.032 \]
