$\begin{bmatrix} a_{1, 1}&amp;a_{1, 2}&amp; \cdots &amp;a_{1, k} \cr a_{2, 1}&amp;a_{2, 2}&amp; \cdots &amp;a_{2, k} \cr \vdots&amp;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots \cr a_{n, 1}&amp;a_{n, 2}&amp; \cdots &amp;a_{n, k}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \cr x_2 \cr \vdots \cr x_k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \cr b_2 \cr \vdots \cr b_n\end{bmatrix}$
Thời trung học phổ th&ocirc;ng ta đ&atilde; rất quen thuộc với việc giải hệ phương tr&igrave;nh, khi giải ta thường t&igrave;m c&aacute;ch kết hợp c&aacute;c phương tr&igrave;nh lại với nhau để tạo th&agrave;nh phương tr&igrave;nh mới đơn giản hơn, sau đ&oacute; sẽ biển diễn một hoặc nhiều ẩn theo c&aacute;c ẩn c&ograve;n lại&hellip;Ở b&agrave;i n&agrave;y ta sẽ biết c&aacute;ch biểu diễn một hệ phương tr&igrave;nh bằng ma trận,&nbsp; c&aacute;ch kết hợp c&aacute;c phương tr&igrave;nh lại khi thao t&aacute;c với ma trận ta c&oacute; thể gọi đ&oacute; l&agrave; c&aacute;c ph&eacute;p biến đổi sơ cấp. Qua b&agrave;i n&agrave;y ta sẽ biết một số dạng hệ phương tr&igrave;nh v&agrave; c&aacute;ch giải ch&uacute;ng khi thao t&aacute;c tr&ecirc;n ma trận.
<h3 id="ftoc-heading-1" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.1 Biểu diễn hệ phương tr&igrave;nh tuyến t&iacute;nh</h3>
$\begin{cases} 2x_1 + 5x_2 &ndash; 2x_3 = 1 \\ 4x_1 &ndash; 5x_2 &ndash; 2x_3 = 8 \\ 9x_1 + 5x_2 &ndash; 3x_3 = 2\end{cases}$
Phương tr&igrave;nh tr&ecirc;n khi biểu diễn dạng ma trận:
$\begin{bmatrix} 2&amp;5&amp;-2 \cr 4&amp;-5&amp;-2 \cr 9&amp;5&amp;-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \cr x_2 \cr x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cr 8 \cr 2\end{bmatrix}$
<h3 id="ftoc-heading-2" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.2 C&aacute;c dạng hệ phương tr&igrave;nh tuyến t&iacute;nh v&agrave; c&aacute;ch giải</h3>
<h4 id="ftoc-heading-3" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.2.1 Hệ Cramer</h4>
X&eacute;t hệ $n$ phương tr&igrave;nh $n$ ẩn:
$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_1 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_2 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = b_n \end{cases}$
Với ma trận hệ số:
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11}&amp;a_{12}&amp;\cdots&amp;a_{1n}\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;\cdots&amp;a_{2n} \\ \cdots&amp;\cdots&amp;\cdots&amp;\cdots\\ a_{n1}&amp;a_{n2}&amp;\cdots&amp;a_{nn}\end{bmatrix}$
Đ&acirc;y l&agrave; một ma trận vu&ocirc;ng cấp $n$.
Ta viết lại phương tr&igrave;nh tr&ecirc;n dưới dạng ma trận sẽ l&agrave;:
$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Ta gọi hệ phương tr&igrave;nh tr&ecirc;n l&agrave; hệ&nbsp;Cramer nếu $det(A) \neq 0$
Hệ Cramer c&oacute; nghiệm duy nhất t&iacute;nh bằng c&ocirc;ng thức $\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ Tức l&agrave;:
$x_{j} = \frac{det(\mathbf{A}_j)}{det(\mathbf{A})} \ \ \ \ (4.2.1)$
Trong đ&oacute; $\mathbf{A}_j$ l&agrave; ma trận suy từ ma trận $\mathbf{A}$ bằng c&aacute;ch thay cột thứ $j$ bởi cột vế phải $\mathbf{b}$.
<h4 id="ftoc-heading-4" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.2.2 Hệ thuần nhất</h4>
Hệ thuần nhất sẽ gần giống với hệ Cramer nhưng sẽ kh&aacute;c phần tử vế phải phương tr&igrave;nh đều l&agrave; $0$.
X&eacute;t hệ $n$ phương tr&igrave;nh $n$ ẩn:
$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} =0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = 0 \end{cases}$
Với ma trận hệ số:
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11}&amp;a_{12}&amp;\cdots&amp;a_{1n}\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;\cdots&amp;a_{2n} \\ \cdots&amp;\cdots&amp;\cdots&amp;\cdots\\ a_{n1}&amp;a_{n2}&amp;\cdots&amp;a_{nn}\end{bmatrix}$
Đ&acirc;y cũng l&agrave; một ma trận vu&ocirc;ng cấp $n$.
Ta viết lại phương tr&igrave;nh tr&ecirc;n dưới dạng ma trận sẽ l&agrave;:
$\mathbf{A}\mathbf{x} = 0$
Ta dễ thấy hệ phương tr&igrave;nh thuần nhất lu&ocirc;n c&oacute; một nghiệm kh&ocirc;ng l&agrave;:
$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$
Nghiệm kh&ocirc;ng của hệ thuần nhất c&ograve;n được gọi l&agrave; nghiệm tầm thường của n&oacute;. Một c&acirc;u hỏi đặt ra l&agrave;: Khi n&agrave;o hệ thuần nhất c&oacute; nghiệm kh&ocirc;ng tầm thường ? Theo c&ocirc;ng thức 4.2.1 th&igrave; ta thất Hệ thuần nhất c&oacute; nghiệm kh&ocirc;ng tầm thường khi v&agrave; chỉ khi $det(\mathbf{A})&nbsp; = 0$, v&igrave; do khi $det(\mathbf{A}) \neq 0$ th&igrave; hệ phương tr&igrave;nh sẽ chỉ c&oacute; duy nhất một nghiệm.
<h4 id="ftoc-heading-5" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.2.3 Hạng của ma trận</h4>
Trước khi đi v&agrave;o kh&aacute;i niệm hạng của ma trận, ta phải định nghĩa ma trận con.
X&eacute;t ma trận cỡ $m \times n$.
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11}&amp;a_{12}&amp;\cdots&amp;a_{1n}\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;\cdots&amp;a_{2n} \\ \cdots&amp;\cdots&amp;\cdots&amp;\cdots\\ a_{m1}&amp;a_{m2}&amp;\cdots&amp;a_{mn}\end{bmatrix}$
Gọi $p$ l&agrave; số nguy&ecirc;n dương kh&ocirc;ng lớn hơn min $\{m, n\}$.
Khi đ&oacute; ta c&oacute;: ma trận vu&ocirc;ng cấp $p$ suy từ $\mathbf{A}$ bằng c&aacute;ch bỏ đi $m - p$ h&agrave;ng v&agrave; $n - p$ cột gọi l&agrave; ma trận con cấp $p$ của $\mathbf{A}$.
Vậy hạng của ma trận $\mathbf{A}$ l&agrave; cấp cao nhất của c&aacute;c định thức con kh&aacute;c $0$ của $\mathbf{A}$.
C&aacute;ch t&iacute;nh hạng của ma trận
Để t&iacute;nh hạng của ma trận ta c&oacute; thể sử dụng hai c&aacute;ch:
<ol style="text-align: justify;">
<li>c&aacute;ch thứ nhất l&agrave; t&igrave;m tất cả c&aacute;c ma trận con sau đ&oacute; t&igrave;m c&aacute;c ma trận con c&aacute;c định thức kh&aacute;c $0$ sau đ&oacute; cấp cao nhất ma trận con c&oacute; định thức kh&aacute;c $0$ ch&iacute;nh l&agrave; hạng của ma trận.</li>
<li>C&aacute;ch thứ hai l&agrave; ta d&ugrave;ng ph&eacute;p biến đổi sơ cấp tr&ecirc;n h&agrave;ng của ma trận gốc để đưa về ma trận dạng bậc thang, sau đ&oacute; số h&agrave;ng kh&aacute;c $0$ của ma trận bậc thang n&agrave;y ch&iacute;nh l&agrave; hạng của trận gốc.</li>
</ol>
Ma trận c&oacute; những t&iacute;nh chất sau gọi l&agrave; ma trận bậc thang:
<ol style="text-align: justify;">
<li>C&aacute;c h&agrave;ng kh&aacute;c $0$ (tức tồn tại &iacute;t nhất một phần tử tr&ecirc;n h&agrave;ng đ&oacute; kh&aacute;c $0$) lu&ocirc;n ở tr&ecirc;n c&aacute;c h&agrave;ng $0$ (tất cả c&aacute;c phần tử tr&ecirc;n h&agrave;ng đ&oacute; đều l&agrave; $0$)</li>
<li>Tr&ecirc;n hai h&agrave;ng kh&aacute;c $0$ th&igrave; phần tử kh&aacute;c $0$ đầu ti&ecirc;n ở h&agrave;ng dưới bao giờ cũng ở b&ecirc;n phải cột chứa phần tử kh&aacute;c $0$ đầu ti&ecirc;n ở h&agrave;ng tr&ecirc;n.</li>
</ol>
V&iacute; dụ ma trận bậc thang:
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1&amp;2&amp;0&amp;4\\ 0&amp;0&amp;1&amp;3 \\ 0&amp;0&amp;0&amp;0\end{bmatrix}$
Hạng của ma trận ta k&iacute; hiệu l&agrave; $rk(\mathbf{A})$
<h4 id="ftoc-heading-6" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.2.4 Hệ phương tr&igrave;nh tổng qu&aacute;t</h4>
B&acirc;y giờ x&eacute;t hệ phương tr&igrave;nh tuyến t&iacute;nh tổng qu&aacute;t như sau:
$\bar{\mathbf{A}} &nbsp;= [\mathbf{A}, \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} a_{11}&amp;a_{12}&amp;\cdots&amp;a_{1n} &amp; | &amp; b_1\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;\cdots&amp;a_{2n} &amp; | &amp; b_2 \\ \cdots&amp;\cdots&amp;\cdots&amp;\cdots &amp; | &amp; \cdots\\ a_{m1}&amp;a_{m2}&amp;\cdots&amp;a_{mn} &amp;|&amp; b_m \end{bmatrix}\ \ \ \ (4.2.4)$
Ma trận bổ sung $\bar{\mathbf{A}}$ c&oacute; c&aacute;c hệ số l&agrave; ma trận $\mathbf{A}$ v&agrave; được bổ sung th&ecirc;m cột $\mathbf{b}$, cột $\mathbf{b}$ ch&iacute;nh l&agrave; kết quả của từng phương tr&igrave;nh (từng h&agrave;ng) nhưng ta đang viết gọn dưới dạng ma trận.
<h4 id="ftoc-heading-7" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.2.4.1 Nghiệm của phương tr&igrave;nh tuyến t&iacute;nh tổng qu&aacute;t</h4>
Theo định l&yacute;&nbsp;Kronecker &ndash; Capelli th&igrave; hệ phương tr&igrave;nh 4.2.4 hay viết ngắn gọn l&agrave; $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ c&oacute; nghiệm khi v&agrave; chỉ khi:
$rk(\bar{\mathbf{A}}) = rk(\mathbf{A})$
Như ta đ&atilde; biết ở phần trước khi t&iacute;nh hạng của ma trận ta sẽ qua c&aacute;c ph&eacute;p biến đổi sơ cấp để đưa ma trận hệ số về dạng bậc thang, nh&igrave;n v&agrave;o dạng của ma trận bậc thang thang ta cũng dễ d&agrave;ng suy ra c&aacute;c trường hợp nghiệm như sau:
<ol style="text-align: justify;">
<li>Nếu $rk(\bar{\mathbf{A}}) \neq rk(\mathbf{A})$ th&igrave; hệ v&ocirc; nghiệm.</li>
<li>Nếu $rk(\bar{\mathbf{A}}) = rk(\mathbf{A}) = n$ th&igrave; hệ c&oacute; nghiệm duy nhất.</li>
<li>Nếu $rk(\bar{\mathbf{A}}) = rk(\mathbf{A}) &lt; n$ th&igrave; hệ c&oacute; v&ocirc; số nghiệm.</li>
</ol>
<h4 id="ftoc-heading-8" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.2.4.2 V&iacute; dụ</h4>
Ta sẽ đi giải thử một phương tr&igrave;nh bằng ph&eacute;p biến đổi sơ cấp để thấy r&otilde; hơn:
X&eacute;t hệ phương tr&igrave;nh sau:
$\begin{cases} -2x_1&amp;+&amp;4x_2&amp; &ndash; &amp;2x_3&amp; &ndash; &amp;x_4&amp; + &amp;4x_5&amp;=&amp; -3 \\ 4x_1&amp;-&amp;8x_2&amp; + &amp;3x_3&amp; &ndash; &amp;3x_4&amp; + &amp;x_5&amp;=&amp; 2 \\ x_1&amp;-&amp;2x_2&amp; + &amp;3x_3&amp; &ndash; &amp;3x_4&amp; + &amp;x_5&amp;=&amp; 0 \\ x_1&amp;-&amp;2x_2&amp; + &amp;&amp; &ndash; &amp;3x_4&amp; + &amp;4x_5&amp;=&amp; -1\end{cases}$
Khi viết hệ tr&ecirc;n dưới dạng ma trận ta được:
$\bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} -2&amp;4&amp;-2&amp;-1&amp;4&amp;|&amp;-3 \\ 4&amp;-8&amp;3&amp;-3&amp;1&amp;|&amp;2 \\ 1&amp;-2&amp;1&amp;-1&amp;1&amp;|&amp;0 \\ 1&amp;-2&amp;0&amp;-3&amp;4&amp;|&amp;-1\end{bmatrix}$
Ta ho&aacute;n đổi R3 (h&agrave;ng thứ 3) v&agrave; R1(h&agrave;ng thứ 1) ta được:
$\bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&amp;-2&amp;1&amp;-1&amp;1&amp;|&amp;0 \\ &nbsp;4&amp;-8&amp;3&amp;-3&amp;1&amp;|&amp;2 \\ -2&amp;4&amp;-2&amp;-1&amp;4&amp;|&amp;-3 \\ 1&amp;-2&amp;0&amp;-3&amp;4&amp;|&amp;-1\end{bmatrix}$
Tiếp theo ta lấy h&agrave;ng thứ hai trừ đi 4 lần h&agrave;ng thứ nhất, h&agrave;ng thứ 3 cộng với hai lần h&agrave;ng thứ nhất, h&agrave;ng thứ 4 trừ đi một lần h&agrave;ng thứ nhất ta được:
$\bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&amp;-2&amp;1&amp;-1&amp;1&amp;|&amp;0 \\ 0&amp;0&amp;-1&amp;1&amp;-3&amp;|&amp;2 \\ 0&amp;0&amp;0&amp;-3&amp;6&amp;|&amp;-3 \\ 0&amp;0&amp;-1&amp;-2&amp;3&amp;|&amp;-1\end{bmatrix}$
Tiếp theo ta lấy h&agrave;ng thứ tư trừ đi h&agrave;ng thứ hai v&agrave; trừ đi h&agrave;ng thứ ba ta được:
$\bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&amp;-2&amp;1&amp;-1&amp;1&amp;|&amp;0 \\ 0&amp;0&amp;-1&amp;1&amp;-3&amp;|&amp;2 \\ 0&amp;0&amp;0&amp;-3&amp;6&amp;|&amp;-3 \\ 0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;|&amp;0\end{bmatrix}$
Tiếp theo ta lấy h&agrave;ng thứ hai nh&acirc;n với&nbsp;&minus;1&nbsp;v&agrave; h&agrave;ng thứ ba nh&acirc;n với&nbsp;&minus;13&nbsp;bước n&agrave;y chỉ nhằm mục đ&iacute;ch giảm độ lớn c&aacute;c hệ số tự do.
$\bar{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix}1&amp;-2&amp;1&amp;-1&amp;1&amp;|&amp;0 \\ 0&amp;0&amp;1&amp;-1&amp;3&amp;|&amp;-2 \\ 0&amp;0&amp;0&amp;1&amp;-2&amp;|&amp;1 \\ 0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;|&amp;0\end{bmatrix}$
Nh&igrave;n v&agrave;o ma trận $\bar{\mathbf{A}}$ cuối c&ugrave;ng ta dễ thấy được $rk(\bar{\mathbf{A}}) = \mathbf{A} &nbsp;&lt; n$ do vậy hệ phương tr&igrave;nh sẽ c&oacute; v&ocirc; số nghiệm.
Ta sẽ viết lại $\bar{\mathbf{A}}$ dưới dạng th&ocirc;ng thường:
$\begin{cases} x_1&amp;-&amp;2x_2&amp; + &amp;x_3&amp; &ndash; &amp;x_4&amp; + &amp;x_5&amp;=&amp; 0 \\ &amp;&amp;&amp; + &amp;x_3&amp; &ndash; &amp;x_4&amp; + &amp;3x_5&amp;=&amp; -2 \\ &amp;&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;x_4&amp; &ndash; &amp;2x_5&amp;=&amp; 1 \\ &amp;&amp;&amp;&amp;&amp; &amp;&amp;&amp;0&amp;=&amp; 0\end{cases}$
Ta dễ thấy hệ phương tr&igrave;nh tr&ecirc;n sẽ c&oacute; v&ocirc; số nghiệm.
<h4 id="ftoc-heading-9" class="ftwp-heading" style="text-align: justify;">4.3 Tổng kết</h4>
Trong b&agrave;i viết n&agrave;y ta đ&atilde; đi t&igrave;m hiểu c&aacute;c hệ phương tr&igrave;nh tuyến t&iacute;nh v&agrave; c&aacute;ch giải ch&uacute;ng khi thao t&aacute;c với ma trận, Ở b&agrave;i viết sau ta sẽ đi t&igrave;m hiểu về kh&ocirc;ng gian vector.
<div id="wpd-post-rating" class="wpd-not-rated">
<div class="wpd-rating-wrap" style="text-align: justify;">&nbsp;</div>
</div>

Admin

Bài 4. Hệ phương trình và giải hệ phương trình tuyến tính

Cùng tác giả

Admin

Có liên quan