tek4

Toán học vui - Liệu 0.99... có thực sự bằng 1?

by - September. 21, 2021
Kiến thức
<p style="text-align: justify;">Trong <a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc">to&aacute;n học</a> ch&uacute;ng ta biết rằng 1/3 = 0.333... trong đ&oacute; dấu "..." đại diện cho số lần lặp v&ocirc; hạn của số "3" v&agrave; số n&agrave;y được gọi l&agrave; số v&ocirc; hạn tuần ho&agrave;n. C&aacute;c số v&ocirc; hạn tuần ho&agrave;n c&oacute; một số t&iacute;nh chất kh&aacute; hay, v&agrave; tạo th&agrave;nh những sự th&uacute; vị của <a href="https://tek4.vn/chu-de/toan-hoc/">to&aacute;n học</a>. Trong b&agrave;i n&agrave;y, ch&uacute;ng ta xem x&eacute;t một trong những t&iacute;nh chất đ&oacute; bằng c&aacute;ch x&eacute;t một c&acirc;u hỏi trong To&aacute;n học vui đ&oacute; l&agrave;: "Liệu 0.999... c&oacute; thực sự bằng 1 hay kh&ocirc;ng?"</p> <p><img style="width: 483px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/0fd19ce9-d672-4faa-b8c0-3e3b06ba629f" alt="To&aacute;n-học-vui_099999bằng1" height="201" /></p> <p style="text-align: justify;">Một c&acirc;u hỏi kh&aacute; th&uacute; vị phải kh&ocirc;ng ạ? Theo c&aacute;c bạn 0.99... c&oacute; bằng 1 hay kh&ocirc;ng?</p> <p style="text-align: justify;">Nếu x&eacute;t biểu diễn ph&eacute;p trừ như sau:</p> <p><img style="width: 483px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/01e61a1b-99b6-4a09-9c27-83d662e6806d" alt="To&aacute;n-học-vui_099999bằng1_2" height="244" /></p> <p style="text-align: justify;">R&otilde; r&agrave;ng 0.99... v&agrave; 1 l&agrave; hai số kh&aacute;c nhau v&agrave; sẽ tồn tại một hiệu số n&agrave;o đ&oacute; giữa hai số. Tuy nhi&ecirc;n, bằng một số chứng minh to&aacute;n học, t&ocirc;i sẽ chứng minh rằng hai số n&agrave;y l&agrave; bằng nhau v&agrave; c&ugrave;ng biểu diễn cho một số.</p> <h3 style="text-align: justify;">Bằng chứng thứ nhất</h3> <p style="text-align: justify;">Như ở phần tr&ecirc;n ch&uacute;ng ta đ&atilde; biết rằng 1/3 = 0.33... cũng l&agrave; một số v&ocirc; hạn tuần ho&agrave;n. Điều th&uacute; vị xảy ra ở đ&acirc;y.</p> <p style="text-align: justify;">Nếu ch&uacute;ng ta nh&acirc;n cả 2 vế biểu thức n&agrave;y với 3. Theo c&aacute;c bạn điều g&igrave; sẽ xảy ra?</p> <p style="text-align: justify;">Ở phần b&ecirc;n phải r&otilde; r&agrave;ng n&oacute; sẽ c&oacute; kết quả bằng 1, c&ograve;n phần b&ecirc;n tr&aacute;i th&igrave; sao? Kết quả của n&oacute; kh&ocirc;ng thể chối c&atilde;i được rằng, n&oacute; sẽ bằng 0.99.... v&ocirc; hạn tuần ho&agrave;n. V&agrave; 1 = 0.99....</p> <p style="text-align: justify;">Thật kỳ diệu đ&uacute;ng kh&ocirc;ng ạ?&nbsp;Nếu bạn vẫn kh&ocirc;ng tin, th&igrave; bạn c&oacute; thể kiểm tra c&aacute;c bằng chứng kh&aacute;c dưới đ&acirc;y.</p> <h3 style="text-align: justify;">Bằng chứng thứ 2</h3> <p style="text-align: justify;">Ở đ&acirc;y, ch&uacute;ng ta sẽ chứng m&igrave;nh 0.99... = 1 bằng đại số.</p> <p style="text-align: justify;">Đặt $latex x = 0.99... $</p> <p style="text-align: justify;">Ta c&oacute; phương tr&igrave;nh sau:</p> <p><img style="width: 487px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/2dbc38d4-483e-4957-b856-9face5837450" alt="images" height="272" /></p> <p style="text-align: justify;">Thật tuyệt vời đ&uacute;ng kh&ocirc;ng ạ. Rất đơn giản ta đ&atilde; khẳng định được rằng 0.99.... = 1. Ch&agrave;, bạn vẫn chưa tin ư? Vậy ch&uacute;ng ta sẽ thử bằng một c&aacute;ch chứng minh kh&aacute;c nghe c&oacute; vẻ "to&aacute;n học" v&agrave; phức tạp hơn nh&eacute;!</p> <h3 style="text-align: justify;">Bằng chứng thứ 3</h3> <p style="text-align: justify;">Ở chứng minh n&agrave;y, ch&uacute;ng ta sẽ sử dụng c&aacute;c t&iacute;nh chất của chuỗi v&agrave; giới hạn. 0,999 v&agrave; 1 r&otilde; r&agrave;ng l&agrave; hai số rất gần nhau nhưng ch&uacute;ng bắt đầu với c&aacute;c số kh&aacute;c nhau. Biểu diễn hai số tr&ecirc;n trục tọa độ thực ta c&oacute;:</p> <p><img style="width: 558px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/899dd86f-0763-42f1-9acb-30560a4754e7" alt="099999bằng1_4-768x96" height="71" /></p> <p style="text-align: justify;">Theo c&aacute;ch biểu diễn số thực, nếu hai số kh&aacute;c nhau, sẽ tồn tại &iacute;t nhất 1 số giữa ch&uacute;ng, hay c&oacute; một khoảng trống giữa ch&uacute;ng. Nếu 0,999 v&agrave; 1 l&agrave; hai số kh&aacute;c nhau th&igrave; cũng sẽ phải c&oacute; khoảng trống giữa ch&uacute;ng.</p> <p style="text-align: justify;">Giả sử rằng nếu tồn tại một khoảng trống như vậy khi đ&oacute; sẽ tồn tại một số x nằm trong khoảng nay. Tuy nhi&ecirc;n, liệu bạn c&oacute; thể t&igrave;m th&acirc;y một số ph&ugrave; hợp ở đ&acirc;y hay kh&ocirc;ng? Ta dễ d&agrave;ng thấy rằng mọi số kh&aacute;c đều sẽ nhỏ hơn 0,999... hoặc lớn hơn 1.</p> <p style="text-align: justify;">V&igrave; vậy, sẽ kh&ocirc;ng c&oacute; số n&agrave;o ph&ugrave; hợp để nằm trong kh&ocirc;ng gian n&agrave;y. Nếu kh&ocirc;ng trường số thực R sẽ kh&ocirc;ng li&ecirc;n tục! V&igrave; vậy, trong trường hợp n&agrave;y 0.999...v&agrave; 1 phải l&agrave; c&ugrave;ng một số. Hay n&oacute;i c&aacute;ch kh&aacute;c 0.99... = 1.</p> <p style="text-align: justify;">Hoặc một c&aacute;ch h&igrave;nh thức hơn, ta c&oacute; thể biểu diễn 0.99...dưới dạng một biểu thức giới hạn như sau:</p> <p><img style="width: 551px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/fd4884f3-4a67-4beb-9811-dee0093b69ce" alt="limit" height="100" /></p> <p style="text-align: justify;">Bằng c&aacute;c kiến thức về t&iacute;nh giới hạn học được ở chương tr&igrave;nh phổ th&ocirc;ng. Ch&uacute;ng ta biết rằng giới hạn n&agrave;y tiến tới 1 khi N tiến ra v&ocirc; c&ugrave;ng. V&agrave; ở đ&acirc;y, đ&uacute;ng thật l&agrave; ch&uacute;ng ta c&oacute; v&ocirc; hạn số 9, v&igrave; vậy N tiến ra v&ocirc; c&ugrave;ng v&agrave; kết quả của ph&eacute;p giới hạn n&agrave;y, ch&iacute;nh x&aacute;c bằng 1. Vậy 0.99... = 1.</p> <p style="text-align: justify;">C&oacute; lẽ việc hai gi&aacute; trị kh&aacute;c nhau c&ugrave;ng đại diện biểu diễn cho một gi&aacute; trị c&oacute; vẻ kh&aacute;c lạ nhưng điều đ&oacute; trong to&aacute;n học l&agrave; b&igrave;nh thường v&agrave; ch&uacute;ng ta vẫn sử dụng điều n&agrave;y mỗi ng&agrave;y! Chắc hẳn bạn c&ograve;n nhớ 0.333, l&agrave;1/3 v&agrave; 1/10 l&agrave; tương tự với 0.1 chứ?</p> <p style="text-align: justify;">To&aacute;n học vui phải kh&ocirc;ng ạ? Dưới đ&acirc;y ch&uacute;ng ta h&atilde;y thử th&aacute;ch với một số c&acirc;u hỏi to&aacute;n học vui nh&eacute;!!!</p> <h3 style="text-align: justify;">Một số c&acirc;u hỏi to&aacute;n học vui</h3> <p style="text-align: justify;"><strong>C&acirc;u 1:</strong> B&agrave;n cao bao nhi&ecirc;u?</p> <p><img style="width: 546px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/e13de379-9826-44f5-823f-ee7ce1a25571" alt="cau-do-toan-hoc-vui-1" height="198" /></p> <p style="text-align: justify;"><strong>C&acirc;u 2:</strong> Nếu 5 con m&egrave;o c&oacute; thể bắt 5 con chuột trong 5 ph&uacute;t, cần c&oacute; bao nhi&ecirc;u con m&egrave;o để bắt được 100 con chuột trong 100 ph&uacute;t?</p> <p><img style="width: 551px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/335bd465-dc97-4e75-9a35-2b77aecb7467" alt="cau-do-toan-hoc-vui-2" height="369" /></p> <p style="text-align: justify;"><strong>C&acirc;u 3:</strong> B&igrave;nh l&agrave; người chạy nhanh thứ 50 v&agrave; cũng l&agrave; người chạy chậm thứ 50 trong cuộc thi ở trường. Giả sử kh&ocirc;ng c&oacute; hai người n&agrave;o chạy c&ugrave;ng tốc độ, tổng cộng c&oacute; bao nhi&ecirc;u học sinh ở trường B&igrave;nh tham gia cuộc thi chạy?</p> <p><img style="width: 548px; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://tek4.vn/public_files/34b970fa-c3b5-4fb5-a09a-6faaa3fb624f" alt="cau-do-toan-hoc-vui-3-768x455" height="324" /></p> <p style="text-align: justify;">H&atilde;y c&ugrave;ng trả lời bằng c&aacute;ch để lại comment b&ecirc;n dưới nh&eacute; !!!</p>